Journées de Géométrie Différentielle le 21, 22 et 23 Mars 2013

Université Libanaise

Faculté des Sciences II - Fanar

Département de mathématiques pures

Journées de Géométrie Différentielle

Dates : 21, 22 et 23 Mars 2013

Lieu : Salle des conférences - Bâtiment de l’administration – 3ème étage

Le département de Mathématiques de la Faculté des Sciences II de l’Université Libanaise, en collaboration avec le CAMS de l’Université Américaine de Beyrouth, organise trois Journées de Géométrie Différentielle le 21, 22 et 23 Mars 2013 au campus Fanar. Le programme est organisé comme suit :

Jeudi 21 mars

9h30 – 10h Accueil des participants

10h – 11h Laurent Hauswirth (Université Marne-la-vallée, France)

Sur la géométrie des surfaces minimales

J'évoquerai les récents progrès en théorie des surfaces minimales, principalement lorsque ces surfaces sont proprement immergées dans les espaces homogènes classifiés par Thurston.

11h15 – 12h15 Safaa El Sayed (Université de Tours, France)

Chirurgie et deuxième invariant de Yamabe

Soit M une variété riemannienne de dimension n ≥3. On suppose que N est obtenue à partir de M par une chirurgie de codimension k≥3. On définit le second invariant de Yamabe par : σ_2 (M,g)=sup_g inf_(h∈[g] ) λ_2 (h) 〖vol(M,h)〗^(2/n), où λ_2est la deuxième valeur propre de l’opérateur de Yamabe et [g] est la classe conforme de g. On montre que si σ_2 (M)>0, alors : σ_2 (N)≥min⁡(σ_2 (M),λ_n), où λ_n sont des constantes positives qui dépendent seulement de n.

13h30 – 14h30 Oussama Hijazi (Université de Lorraine, France)

Spineurs et Masse Positive

Le principe holographique en physique est une conjecture qui dit que toute l'information contenue dans un volume d'espace peut être décrite par des données sur les bords. Dans un travail en commun avec Sebastián Montiel, nous étudions un principe holographique pour l'existence de spineurs parallèles. Ce résultat implique le Théorème de la Masse Positive.

14h45 – 15h45 Hiba Abdallah (Université de Grenoble, France)

Plongement d'un flot de variétés riemanniennes dans un espace de Hilbert à l'aide de son noyau de chaleur

Dans cet exposé, on considère une variété compacte M munie d’une famille continue de métriques riemanniennes g(t) dont le volume est constant en t. On discute la forme de la solution fondamentale P de l’opérateur parabolique linéaire ∆_(g(t))- ∂/∂t, où ∆_(g(t)) est le laplacien par rapport à la métrique g(t). En étudiant le comportement asymptotique de P en temps petits, on généralise l’estimation de Varadhan qui est bien connue dans le cas où la métrique est fixe. Ainsi on plonge la famille de métriques g(t) dans un même espace de Hilbert et on réalise le flot comme une déformation de sous-variétés d'un espace de Hilbert.

Vendredi 22 mars

10h – 11h Jacques Lafontaine (Université de Montpellier, France)

Invitation à la géométrie symplectique affine

En géométrie différentielle classique, on étudie des invariants qui caractérisent les sous-variétés à une isométrie affine près. Par exemple, les courbes de l'espace à trois dimensions sont ainsi caractérisées par leur courbure et leur torsion. La géométrie différentielle affine, moins bien connue, a pour objet l'étude des hypersurfaces modulo les transformations affines de l'espace ambiant. Dans cet exposé, j'étudierai les hypersurfaces modulo l'action du groupe symplectique affine et discuterai l'existence d'une inégalité isopérimétrique dans cette situation.

11h15 – 12h15 Joseph Malkoun (Leibniz Universität Hannover, Allemagne)

Grassmannians, Quadrics and the Bogomolny equations

We construct a twistor space T for the hyperbolic Grassmannian M = SO(3, n)/ SO(3) × SO(n). Using this, we show that there is a one-to-one correspondence between solutions to some generalized Bogomolny equa- tions on M, and holomorphic bundles over T that are trivial over real plane sections of T. (joint work with R. Bielawski and D. Calderbank)

13h30 – 14h30 Pol Vanhaecke (Université de Poitiers, France)

Intégrabilité réelle, complexe et algébrique

L'intégration des systèmes intégrables de la mécanique classique fait souvent appel à des fonctions thêta. Cette observation a été expliquée, puis exploitée par Adler et Van Moerbeke, qui ont introduit la notion d'intégrabilité algébrique. Dans mon exposé je prendrai le temps d'introduire la notion classique d'intégrabilité sur une variété de Poisson, réelle ou complexe, pour motiver la notion d'intégrabilité algébrique pour laquelle je donnerai quelques exemples et quelques applications.

14h45 – 15h45 Farah Farah (Université de Balamand, Liban)

Etude géométrique intrinsèque des extrémales d’un Lagrangien non-holonome et optimalité

Ce travail se situe dans le cadre de l’étude des extrémales d’un Lagrangien L non-holonome déﬁni sur un sous-ﬁbré du ﬁbré tangent à une variété. Dans le cadre du formalisme géométrique sur les quasi-algébroïdes, à un tel Lagrangien régulier est associée une connexion canonique. Dans notre contexte, ce formalisme possède une version assez naturelle. Nous montrons que la connexion canonique de L est l’unique connexion lagrangienne métrique associée à L dans ce formalisme. Enﬁn, nous construisons une connexion lagrangienne ”naturelle” dont les géodésiques sont les extrémales de L.

Samedi 23 mars

10h – 11h Hugo Parlier (Université de Fribourg, Suisse)

The geometry of moduli space and the study of curves on surfaces

The talk is about deformation spaces for the sets of surface metrics. For a given genus g≥ 2, the set of hyperbolic metrics one can put on a surface of genus g is its moduli space. It can be endowed with a variety of metrics generally coming from metrics on Teichmüller space, the space of marked hyperbolic metrics. Although there exists a rich theory of the geometry of moduli space, surprisingly little is known about what might be described as the “shape” of moduli space. The talk will be about studying properties of curves and geodesics on surfaces to describe moduli spaces and in parallel studying moduli space to say something about the geometry of hyperbolic surfaces.

11h15 – 12h15 Mayada Sleiman (Université Libanaise)

Bras articulé et distribution drapeau

Cet exposé a pour but de nous montrer que le problème de modélisation de l’évolution cinématique d’une voiture avec n remorques étudié par F. Jean et qui est décrit par une distribution de Goursat sur l’espace de configuration IR2x (S1)n+1, se généralise en un problème de modélisation cinématique du bras articulé de longueur n sur IRk+1 de sorte qu’à cette modélisation est naturellement associée une distribution multi-drapeaux spéciaux. On montre une généralisation des singularités construites par F. Jean dans ce contexte en liaison avec les singularités définies par P. Mormul pour les distributions drapeaux spéciaux.

13h30 – 14h30 Luigi Vezzoni (Université de Torino, Italie)

Riemannian foliations with special holonomy

A Riemannian foliation is a foliation with a fixed transverse Riemannian metric. The normal bundle to a Riemannian foliation inherits always a canonical connection preserving the transverse metric and having trivial transverse torsion. The existence of many important transverse structures is characterized by the holonomy group of this connection. The talk is about Riemannian foliations with either a transverse Calabi-Yau structure or a transverse hyper-Kähler structure. It will be shown that starting from the El Kacimi generalization of the Calabi-Yau theorem to the foliated case, many classical results involving Calabi-Yau manifolds generalize to the transverse case. Using these results it is possible to construct the first examples of compact simply-connected contact Calabi-Yau manifolds. Moreover, in the talk it will be shown a criterion to establish when a Riemannian foliation admits a transverse hyper-Kähler structure in terms of the existence of a transverse hyper-complex structure.

14h45 – 15h45 Ghada Salem (Université Libanaise)

Dualité de Poincaré-Lefschetz pour les variétés à bord.

Dans cet exposé on va construire pour une paire d'espaces (X,A) un complexe appelé J-complexe qui nous permet de construire une dualité de Poincaré-Lefschetz pour les variétés à bord. Rappelons que la dualité de Poincaré n'est pas vraie dans le cadre singulier. A la fin des années 70, Goresky et MacPherson introduisent l'homologie d'intersection pour laquelle la dualité de Poincaré rationnelle reste vraie pour les singularités coniques. On modifie cette cohomologie d'intersection en construisant un complexe non libre quasi isomorphe au complexe d'intersection mais dont la cohomologie vérifie la dualité de Poincaré entière.

Comité d’organisation

Fida El Chami (Université Libanaise) fchami@ul.edu.lb

Chadi El Mir (Université Arabe de Beyrouth) chady.mir@gmail.com

Georges Habib (Université Libanaise) ghabib@ul.edu.lb

Roger Nakad (Université de Notre Dame) rnakad@ndu.edu.lb

Wafic Sabra (Université Américaine de Beyrouth) ws00@aub.edu.lb

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